¿Qué es un fractal?

Un fractal es basicamente un figura geometrica. Los fractales tienen una propiedad que les diferencia de las demas representaciones geometricas y es que son Autosemejantes, es decir que las figuras se repiten una y otra vez de una forma infinita. Otra propiedad es que los fractales tienen un numero infinito de vertices.

La personalidad mas conocida dentro del mundo de los fractales se podría decir que es Benoît B MandelBrot quien ha desarrollado toda la geometria fractal. Benoît aseguraba que los fractales no tienen 1, 2 o 3 dimensiones sino que tienen un numero no entero de dimensiones como por ejemplo 1.76508 dimensiones.

Actualmente los fractales se utilizan para varias cosas por ejemplo para la compresion de imagenes o para aplicar filtros gráficos a las imagenes o incluso para deducir los fenomenos metereologicos.

MandelBrot

Este es el fractal mas conocido como se puede ver se cumple la propiedad de autosemejante antes mencionada.

El MandelBrot es básicamente una representacion gráfica de una funcion matematica basada en numeros complejos (P.ej. 3 + 2i donde i =raiz cuadrada de -1) al igual que al representar una funcion tal como y=x + 1 tenemos los ejes de las y y el eje de las x en el plano complejo estos ejes se componen de eje vertical para los números imaginarios y el eje horizontal para los números reales, el conjunto de número imaginario y real forman el llamado número complejo.

comparacion del sistema de coordenadas del plano real al plano complejo.

El fractal MandelBrot se forma de la siguiente forma:

Supuesto el plano complejo se situa un circulo de 2 unidades de radio y se situa un punto llamado z en el centro de coordenadas (z=0+0i)

Se toma un punto de prueba llamado c y se va desarrollando la formula: z=(z*z) +c.
Cuando el punto z sale del circulo que habiamos trazado contamos las veces que ha echo falta para salir de la circunferencia estos numeros son las iteracciones dependiendo de las iteracciones que haga falta para sacar el punto del circulo se colorea de un color. De esta forma se calcula el fractal.

Ejemplo: (z=0+0i, c =1+0.5i) z=(z*z)+c

1.- z=1+0.5i --- Distancia respecto al origen 1.11

2.- z=0.75+i --- Distancia respecto al origen 1.25

3.- z=-0.4375+1.5i --- Distancia respecto al origen 1.5625

4.- z=-2.0586-1.3125i --- Distancia respecto al origen 2.4414

Esto demuestra que el punto de prueba c=1+0.5i necesita 4 iteracciones para escapar de la orbita, luego le corresponde al color de los puntos que necesitan 4 iteranciones.

El ejemplo actua respecto a un solo punto, para formar el fractal se toman los infinitos puntos de los ejes y se repite la operacion y de esa forma se contruye el fractal entero.

Otros fractales

Julia

Newton

Lorenz